О кратной полноте корневых функций нерегулярных пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и распадающимися краевыми условиями

Авторы: 
Журнал: 
Страница: 
91
УДК: 
517.927.25

В пространстве суммируемых с квадратом функций на отрезке $[0,1]$ рассматривается класс полиномиальных пучков обыкновенных дифференциальных операторов $n$-го порядка. Коэффициенты дифференциального выражения предполагаются постоянными. Краевые условия являются распадающимися и двухточечными в концах 0 и 1 ($l$ краевых условий берутся только в точке 0 ($1\le l\le n-1$), а остальные $n-l$ – в точке 1). Дифференциальное выражение и краевые формы предполагаются однородными, то есть содержат только главные части. Предполагается, что корни характеристического уравнения пучков этого класса простые, отличны от нуля и лежат на двух лучах, исходящих из начала координат, в количествах $k$ и $n-k$. Формулируются достаточные условия $m$-кратной полноты с возможным конечным дефектом системы корневых функций пучков этого класса в пространстве суммируемых с квадратом функций на основном отрезке. В случае $l\le\min\{k,n-k\}$ даются достаточные условия $2l$-кратной полноты, а в случае $l\ge\max\{k,n-k\}$ – $2(n-l)$-кратной полноты. Достаточные условия заключаются в отличии от нуля некоторых вполне конкретных определителей, построенных по коэффициентам краевых условий и корням характеристического многочлена. Даются оценки сверху возможны конечных дефектов. Доказательство проводится по несколько модернизированной <<классической>> схеме доказательства, восходящей к работам M. B. Келдыша, А. П. Хромова, А. А. Шкаликова и др.. В случае же, когда $\min\{k,n-k\}>. Этот метод заключается в использовании вместо <<классических>> порождающих функций для системы корневых функций введенных автором новых <<обобщенных порождающих функций>>, зависящих от произвольного вектора параметров, и в подборе этих векторов параметров так, чтобы классическая схема доказательства по-прежнему работала.

Ключевые слова: пучок обыкновенных дифференциальных операторов, полиномиальный пучок, распадающиеся краевые условия, однородное дифференциальное выражение, постоянные коэффициенты, собственные и присоединенные функции, корневые функции, однократная полнота системы корневых функций, однократная полнота системы собственных и присоединенных функций